variable de shell en un regex grep

Estoy tratando de usar una variable en un regex grep. Solo publicaré un ejemplo del error y quizás alguien pueda sugerir cómo hacer que la variable se evalúe mientras se ejecuta el comando grep. He intentado${var} también.

$ string="test this"
$ var="test"
$ echo $string | grep '^$var'
$ 

Como mi expresión regular debe coincidir con las líneas que comienzan con "prueba", debe imprimir la línea que se hace eco a través de ella.

$ echo $string
test this
$

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