В настоящее время я могу перечислить Коренится Планарной Немеченый бинарные деревья, использующие следующий код Prolo

e --> u | b | t.
u --> ['[op(u),['], e, [']]'].
b --> ['[op(b),['], e, [','], e, [']]'].
t --> ['number(n)'].

Примечание: см. Выходные листинги ниже.

и выводить их в увеличенном размере, используя

es(S) :-
    length(Ls, _),
    phrase(e, Ls),     % or e(Ls,[]),
    atomic_list_concat(Ls,S).

Однако это неэффективный алгоритм перебора.

Есть ли более эффективный алгоритм для перечисления корневых плоских немеченых бинарных деревьев?

Примечание: деревья могут быть сгенерированы с помощью деревьев из предыдущих двух итераций, подумайте о числах Фибоначчи и добавив либо унарную ветвь, либо бинарную ветвь, однако это приводит к дублированию деревьев. Я сам мог сделать эту версию, и я искал алгоритм, который эффективно генерирует деревья с первого раза без дубликатов.

Примечание: двоичное дерево также известно как двоичное дерево выражений или К-арое дерево с К <= 2.

ДополнениеПолученные результат

Моя версия грубой силы для M (15) заняла 1 час 27 минут, а эффективная версия для M (15) - около 2 секунд.

Очевидно, что эффективный алгоритм гораздо эффективнее, и поэтому я задал вопрос.

Числа Моцкина

Количество деревьев сN узлы для корневых плоских немеченых бинарных деревьев задаются числами Моцкина. Смотрите: OEIS A001006

Nodes  Trees
1      1
2      1
3      2
4      4
5      9

Количество деревьев, имеющих N внутренних узлов для корневого планарного бинарного дерева без меток, задается каталонскими числами. Существует более эффективный алгоритм генерации корневых бинарных деревьев с использованием каталонских чисел.

Заметка
Количество деревьев на основе каталонских чисел делаютн имеют одинарные ветви и считают только Внутренняя узлы.

в то время ка

количество деревьев по числам Моцкинаделат имеют одинарные ветви и считаютвс узлы.

Видеть
OEIS A000108
Каталонские номера Том Дэвис

Связывание элементов списка Пролога с числом Моцкина

% M is Motzkin number, N is number of  list elements passed to atomic_list_concat\2
m_to_n(1,1).
m_to_n(2,3).
m_to_n(M,N) :-
    M > 2,
    N is (M*2)-1.

es_m(M,S) :-
    m_to_n(M,N),
    length(Ls,N),
    e(Ls,[]),
    atomic_list_concat(Ls,S).

Статистика с неэффективной грубой силой

es_c(M,Count) :-
    aggregate_all(count, es_m(M,_), Count).

?- time(es_c(1,Count)).
% 57 inferences, 0.000 CPU in 0.000 seconds (?% CPU, Infinite Lips)
Count = 1.

?- time(es_c(2,Count)).
% 141 inferences, 0.000 CPU in 0.000 seconds (?% CPU, Infinite Lips)
Count = 1.

?- time(es_c(3,Count)).
% 571 inferences, 0.000 CPU in 0.000 seconds (?% CPU, Infinite Lips)
Count = 2.

?- time(es_c(4,Count)).
% 2,740 inferences, 0.000 CPU in 0.000 seconds (?% CPU, Infinite Lips)
Count = 4.

?- time(es_c(5,Count)).
% 13,780 inferences, 0.000 CPU in 0.001 seconds (0% CPU, Infinite Lips)
Count = 9.

?- time(es_c(6,Count)).
% 70,072 inferences, 0.000 CPU in 0.002 seconds (0% CPU, Infinite Lips)
Count = 21.

?- time(es_c(7,Count)).
% 357,358 inferences, 0.016 CPU in 0.012 seconds (136% CPU, 22870912 Lips)
Count = 51.

?- time(es_c(8,Count)).
% 1,824,082 inferences, 0.063 CPU in 0.056 seconds (111% CPU, 29185312 Lips)
Count = 127.

?- time(es_c(9,Count)).
% 9,313,720 inferences, 0.297 CPU in 0.290 seconds (102% CPU, 31372531 Lips)
Count = 323.

?- time(es_c(10,Count)).
% 47,561,878 inferences, 1.469 CPU in 1.467 seconds (100% CPU, 32382555 Lips)
Count = 835.

?- time(es_c(11,Count)).
% 242,896,160 inferences, 7.672 CPU in 7.665 seconds (100% CPU, 31660599 Lips)
Count = 2188.

?- time(es_c(12,Count)).
% 1,240,493,974 inferences, 38.797 CPU in 38.841 seconds (100% CPU, 31974069 Lips)
Count = 5798.

?- time(es_c(13,Count)).
% 6,335,410,822 inferences, 206.047 CPU in 213.116 seconds (97% CPU, 30747425 Lips)
Count = 15511.

?- time(es_c(14,Count)).
% 32,356,235,848 inferences, 1016.156 CPU in 1018.955 seconds (100% CPU, 31841792 Lips)
Count = 41835.

?- time(es_c(15,Count)).
% 165,250,501,417 inferences, 5231.766 CPU in 5268.363 seconds (99% CPU, 31585991 Lips)
Count = 113634.

Ссылк

Бесплатная загружаемая книга в формате PDF, которая может помочь: "Аналитическая комбинаторика" Филиппом Флажоле и Робертом Седжвиком

Также смотрите ссылки в Каталонский тег

Числа Моцкина

BNF

<expression> ::= 
      <unary expression>
    | <binary expression>
    | <terminal>

<unary expression> ::= 
    "(u" <expression> ")"

<binary expression> ::= 
    "(b" <expression> " " <expression> ")"

<terminal> ::= 
    "t"

С помощьюотве Дэвид Эйзенстат

Подумайте об этом, как о записках или панировочных сухарях, на случай, если мне понадобится использовать это снова через много месяцев после того, как я забуду эт

Чтобы проверить ответ, который я использовал WSL (Подсистема Windows для Linux) с установленным Python 3

Используя Windows 10, я создал файл с именемmotzkin.py в каталоге

C:\Users\Eric\Documents\Prolog

с кодом Python

def ubtrees(n):
    if n == 1:
        yield 't'
    elif n > 1:
        for t in ubtrees(n - 1):
            yield '(u {})'.format(t)
        for i in range(1, n - 1):
            for t1 in ubtrees(i):
                for t2 in ubtrees(n - 1 - i):
                    yield '(b {} {})'.format(t1, t2)

затем в WSL я создал символическую ссылку на каталог Windows Prolog

$ ln -s "/mnt/c/Users/Eric/Documents/Prolog" /home/eric/Prolog

и перешел в каталог Пролог WSL

$ cd Prolog

затем запустил Python3

~/Prolog$ python3

и импортировал код Python

>>> import motzkin

и запустил следующее с аргументом, что ubtree - число Моцкина

>>> for value in ubtrees(1):
...   print(value)
...
t

>>> for value in ubtrees(2):
...   print(value)
...
(u t)

>>> for value in ubtrees(3):
...   print(value)
...
(u (u t))
(b t t)

>>> for value in ubtrees(4):
...   print(value)
...
(u (u (u t)))
(u (b t t))
(b t (u t))
(b (u t) t)

>>> for value in ubtrees(5):
...   print(value)
...
(u (u (u (u t))))
(u (u (b t t)))
(u (b t (u t)))
(u (b (u t) t))
(b t (u (u t)))
(b t (b t t))
(b (u t) (u t))
(b (u (u t)) t)
(b (b t t) t)

и проверить числа Моцкина

def m_count(m):
    count = sum(1 for x in ubtrees(m))
    print("Count: ", count)

>>> m_count(1)
Count:  1
>>> m_count(2)
Count:  1
>>> m_count(3)
Count:  2
>>> m_count(4)
Count:  4
>>> m_count(5)
Count:  9
>>> m_count(6)
Count:  21
>>> m_count(7)
Count:  51
>>> m_count(8)
Count:  127
>>> m_count(9)
Count:  323
>>> m_count(10)
Count:  835
>>> m_count(11)
Count:  2188
>>> m_count(12)
Count:  5798
>>> m_count(13)
Count:  15511
>>> m_count(14)
Count:  41835
>>> m_count(15)
Count:  113634

Для выхода из интерактивного использования Python

quit()

Примечания к дубликатам

То, как я узнал о числах Моцкина, было вручную перечислять деревья ручкой и бумагой и находить дубликаты, используя метод добавления унарной ветви к предыдущим деревьям M (N-1) и двоичных ветвей к предыдущей предшествующей M ( N-2) деревья.

Это одно дерево было сгенерировано дважды для M (5) из M (4) деревьев

(b (u t) (u t))

первый, добавив унарную ветвь к

(b (u t) t)

а во-вторых, добавив унарную ветвь к

(b t (u t))

После этого у меня была последовательность чисел 1,2,4,9,21, которую я использовал с OEIS поиск и лучший результат был A001006 для чисел Моцкина. Получив больший список чисел Моцкина, я использовал код Пролога, чтобы сгенерировать счетчики для больших входных значений, и они все согласились. Теперь вы можете добавить OEIS в свой инструментарий программирования с действительным примером для демонстрации другим.

Большая картина

Если вы читали это далеко, то, вероятно, видите, что это является частью более серьезной проблемы, которая заключается в создании системы сначала в Прологе, которая может использовать переписывание терминов для решения математических выражений вплоть до базового исчисления, но, что более важно, показывает предпринятые шаги. Таким образом, это дает одну часть пути к созданию деревьев двоичных выражений, которые будут использоваться в качестве тестовых случаев. Следующим шагом будет возможность индивидуально установить число унарных и двоичных узлов вместо того, чтобы фиксировать их по числу Моцкина. Я использовал только числа Моцкина, чтобы убедиться, что я правильно генерировал подмножество комбинаций. Теперь, когда у меня есть шаблон для этого, я могу изменить его так, чтобы он принимал один аргумент для числа унарных узлов и один для двоичных узлов. Видеть: Как перечислить комбинации с использованием DCG с CLP (FD) и несколькими ограничениями

Только когда я застряну, я задам вопросы, связанные с этим, поэтому не ожидайте увидеть все необходимые хлебные крошки.

Пролог выходной

?- length(Ls, N), phrase(e, Ls).
Ls = ['number(0)'],
N = 1 ;
Ls = ['[op(u),[', 'number(0)', ']]'],
N = 3 ;
Ls = ['[op(u),[', '[op(u),[', 'number(0)', ']]', ']]'],
N = 5 ;
Ls = ['[op(b),[', 'number(0)', ',', 'number(0)', ']]'],
N = 5 ;
Ls = ['[op(u),[', '[op(u),[', '[op(u),[', 'number(0)', ']]', ']]', ']]'],
N = 7 ;
Ls = ['[op(u),[', '[op(b),[', 'number(0)', ',', 'number(0)', ']]', ']]'],
N = 7 ;
Ls = ['[op(b),[', '[op(u),[', 'number(0)', ']]', ',', 'number(0)', ']]'],
N = 7 ;
Ls = ['[op(b),[', 'number(0)', ',', '[op(u),[', 'number(0)', ']]', ']]'],
N = 7 ;

?- es(S).
S = 'number(0)' ;
S = '[op(u),[number(0)]]' ;
S = '[op(u),[[op(u),[number(0)]]]]' ;
S = '[op(b),[number(0),number(0)]]' ;
S = '[op(u),[[op(u),[[op(u),[number(0)]]]]]]' ;
S = '[op(u),[[op(b),[number(0),number(0)]]]]' ;
S = '[op(b),[[op(u),[number(0)]],number(0)]]' ;
S = '[op(b),[number(0),[op(u),[number(0)]]]]' ;
S = '[op(u),[[op(u),[[op(u),[[op(u),[number(0)]]]]]]]]' ;
S = '[op(u),[[op(u),[[op(b),[number(0),number(0)]]]]]]' ;
S = '[op(u),[[op(b),[[op(u),[number(0)]],number(0)]]]]' ;
S = '[op(u),[[op(b),[number(0),[op(u),[number(0)]]]]]]' ;
S = '[op(b),[[op(u),[[op(u),[number(0)]]]],number(0)]]' ;
S = '[op(b),[[op(u),[number(0)]],[op(u),[number(0)]]]]' ;
S = '[op(b),[[op(b),[number(0),number(0)]],number(0)]]' ;
S = '[op(b),[number(0),[op(u),[[op(u),[number(0)]]]]]]' ;
S = '[op(b),[number(0),[op(b),[number(0),number(0)]]]]' ;

?- es_m(1,E).
E = 'number(n)' ;
false.

?- es_m(2,E).
E = '[op(u),[number(n)]]' ;
false.

?- es_m(3,E).
E = '[op(u),[[op(u),[number(n)]]]]' ;
E = '[op(b),[number(n),number(n)]]' ;
false.

?- es_m(4,E).
E = '[op(u),[[op(u),[[op(u),[number(n)]]]]]]' ;
E = '[op(u),[[op(b),[number(n),number(n)]]]]' ;
E = '[op(b),[[op(u),[number(n)]],number(n)]]' ;
E = '[op(b),[number(n),[op(u),[number(n)]]]]' ;
false.

?- es_m(5,E).
E = '[op(u),[[op(u),[[op(u),[[op(u),[number(n)]]]]]]]]' ;
E = '[op(u),[[op(u),[[op(b),[number(n),number(n)]]]]]]' ;
E = '[op(u),[[op(b),[[op(u),[number(n)]],number(n)]]]]' ;
E = '[op(u),[[op(b),[number(n),[op(u),[number(n)]]]]]]' ;
E = '[op(b),[[op(u),[[op(u),[number(n)]]]],number(n)]]' ;
E = '[op(b),[[op(u),[number(n)]],[op(u),[number(n)]]]]' ;
E = '[op(b),[[op(b),[number(n),number(n)]],number(n)]]' ;
E = '[op(b),[number(n),[op(u),[[op(u),[number(n)]]]]]]' ;
E = '[op(b),[number(n),[op(b),[number(n),number(n)]]]]' ;
false.