Я пытаюсь оценить модель спроса:

d_t^k = a_t - b^k p_t^k + e_t^k

Индексыt для номера недели,k для номера продукта. Спрос на каждый товарd_t^k зависит от общей сезонности, которую разделяют все продуктыa_tи является аффинной функцией цены продукта на этой неделеp_t^kплюс некоторая нормальная случайная ошибкаe_t^k.

Однако, если я использую следующееlm вызов функции, это дает мне один коэффициентb заpriceкогда то, что я хочу, это один коэффициент на продуктb^k заprice^k.

lm(demand ~ factor(week) + price, data = df)

Как правильно выразить модель?

lm(demand ~ factor(week) + factor(product) * price, data = df)

Я предполагаю, что вышеупомянутое сработало бы, и это, но я не могу найти документацию, которая говорит мне, что там происходит.

В качестве конкретного примера, у меня есть следующий код, который выполняется на немного другой модели спроса d_t ^ k = a_t + a ^ k - b ^ k p_t ^ k + e_t ^ k

# Generate fake prices and sales, and estimate the coefficients of
# the demand model.

number.of.items <- 20 # Must be a multiple of 4
number.of.weeks <- 5
coeff.item.min <- 300
coeff.item.max <- 500
coeff.price.min <- 1.4
coeff.price.max <- 2
normal.sd <- 40
set.seed(200)

# Generate random coefficients for the items
coeff.item <- runif(number.of.items, coeff.item.min, coeff.item.max)
coeff.price <- runif(number.of.items, coeff.price.min, coeff.price.max)
coeff.week <- 50 * 1:number.of.weeks

# Row is item, column is week
week.id.matrix <- outer(rep(1, number.of.items), 1:number.of.weeks)
item.id.matrix <- outer(1:number.of.items, rep(1, number.of.weeks))
price.matrix <- rbind(
  outer(rep(1, number.of.items / 4), c(100, 100, 90, 90, 80)),
  outer(rep(1, number.of.items / 4), c(100, 90, 90, 80, 60)),
  outer(rep(1, number.of.items / 4), c(100, 85, 85, 60, 60)),
  outer(rep(1, number.of.items / 4), c(100, 75, 60, 45, 45))
)
coeff.week.matrix <- outer(rep(1, number.of.items), coeff.week)
coeff.price.matrix <- outer(coeff.price, rep(1, number.of.weeks))
coeff.item.matrix <- outer(coeff.item, rep(1, number.of.weeks))
sales.matrix <- coeff.week.matrix +
  coeff.item.matrix -
  coeff.price.matrix * price.matrix +
  matrix(rnorm(number.of.weeks * number.of.items, 0, normal.sd),
         number.of.items, number.of.weeks)


df <- data.frame(item = factor(as.vector(item.id.matrix)),
                 week = factor(as.vector(week.id.matrix)),
                 price = as.vector(price.matrix),
                 sales = as.vector(sales.matrix))

model <- lm(sales ~ week + item + price, data = df)
model <- lm(sales ~ week + item + factor(item) * price, data = df)

print(summary(model))