Я не хочу найти все минимальные связующие деревья, но я хочу знать, сколько их там, вот метод, который я рассмотрел:

Найдите одно минимальное остовное дерево, используя алгоритм Прима или Крускала, а затем найдитевеса всех связующих деревьев и увеличивайте счетчик хода, когда он равен весу минимального остовного дерева.

Я не смог найти какой-либо метод, позволяющий найти веса всех связующих деревьев, а также количество связующих деревьев, которые могут быть очень большими, поэтому этот метод может не подходить для решения проблемы. Поскольку количество минимальных остовных деревьев является экспоненциальным, подсчет их не будет хорошей идеей.

Все веса будут положительными.Можно также предположить, что никакой вес не появится более трех раз на графике.Количество вершин будет меньше или равно 40000.Количество ребер будет меньше или равно 100 000.

В графе есть только одно минимальное остовное дерево, в котором вес вершин различен. Я думаю, что лучший способ найти количество минимального связующего дерева должен быть чем-то, используя это свойство.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Я нашел решение этой проблемы, но я не уверен, почему это работает. Может кто-нибудь, пожалуйста, объясните это.

Решение: проблема нахождения длины минимального остовного дерева достаточно известна; Два самых простых алгоритма для нахождения минимального остовного дерева - это алгоритм Прима и алгоритм Крускала. Из этих двух алгоритм Крускала обрабатывает ребра в порядке возрастания их весов. Тем не менее, существует важный ключевой момент алгоритма Крускала: при рассмотрении списка ребер, отсортированных по весу, ребра могут быть жадно добавлены в остовное дерево (если они не соединяют две вершины, которые уже каким-то образом связаны ).

Теперь рассмотрим частично сформированное остовное дерево, используя алгоритм Крускала. Мы вставили некоторое количество ребер с длиной меньше N, и теперь нам нужно выбрать несколько ребер длины N. Алгоритм утверждает, что мы должны вставить эти ребра, если это возможно, перед любыми ребрами с длиной больше N. Однако мы можем вставьте эти края в любом порядке, который мы хотим. Также обратите внимание, что независимо от того, какие ребра мы вставляем, это никак не меняет связность графа. (Давайте рассмотрим два возможных графа, один с ребром от вершины A до вершины B и один без. Второй граф должен иметь A и B как часть одного и того же связного компонента; в противном случае ребро от A до B было бы вставлено в один пункт.)

Эти два факта вместе означают, что наш ответ будет произведением количества способов, используя алгоритм Крускала, вставить ребра длины K (для каждого возможного значения K). Поскольку существует не более трех ребер любой длины, различные случаи могут быть подвергнуты грубому принуждению, и связанные компоненты могут быть определены после каждого шага, как это было бы обычно.