Como evito que o Firefox solicite nome de usuário / senha com autenticação básica HTTP com JQuery AJAX?

Estou escrevendo algumas funcionalidades dinâmicas do navegador e usando o HTTP Basic Auth para proteger alguns recursos. A experiência do usuário é muito importante e é altamente personalizada.

Aqui está um método JQuery de teste simples que eventualmente testará se um usuário forneceu as credenciais corretas em um formulário:

$(document).ready(function() {
    $("#submit").click(function() {
    var token = Base64.encode($('#username').val() + ':' + $('#password').val());        
    $.ajax({
      url: '/private',
      method: 'GET',
      async: false,
      beforeSend: function(req) {
        req.setRequestHeader('Authorization', 'test:password');
      },
      error: function(request, textStatus, error) {
        if (request.status == 401) {
          alert('401');
        }
      }
    });
    return false;
  });
});

Se eles não tiverem permissão para acessar/private, no momento eles devem ver apenas a caixa de alerta. No entanto, no Firefox, um formulário de login fornecido pelo navegador é exibido (para tentar novamente com novas credenciais). O Safari não faz isso.

Queremos controlar completamente a experiência com formulários personalizados, desaparecimentos, transições etc. Como impedir que a caixa padrão do Firefox seja exibida? (Se isso for um problema quando testamos o IE, eu também adoraria ouvir soluções lá.)