Eu tenho esse pedaço simples de código -

$(window).bind('beforeunload', function(){
    alert("Good Bye")
});

Funciona muito bem com o Firefox, o IE8, mas não no Chrome. É um problema conhecido ou existe alguma alternativa para isso?

Na verdade, o que estou tentando fazer é registrar os detalhes sempre que o usuário tentar fechar o navegador.

function LogTime()
{
    jQuery.ajax({
      type: "POST",
      url: "log.php",
      data: "",
      cache: false,
      success: function(response)
      {
      }
    );
}

$(window).bind('beforeunload', function(){
    LogTime();
});

Isso funciona bem no Firefox, mas não no Chrome