No meu aplicativo, preciso armazenar muitas imagens no armazenamento do dispositivo. Esses arquivos tendem a atender ao armazenamento do dispositivo e quero permitir que os usuários escolham o cartão SD externo como a pasta de destino.

Li em todos os lugares que o Android não permite que os usuários gravem no cartão SD externo. Por cartão SD, quero dizer o cartão SD externo e montável enão o armazenamento externo, mas os aplicativos de gerenciamento de arquivos conseguem gravar no SD externo em todas as versões do Android.

Qual é a melhor maneira de conceder acesso de leitura / gravação ao cartão SD externo em diferentes níveis de API (Pre-KitKat, KitKat, Lollipop +)?

Atualização 1

Eu tentei o Método 1 da resposta do Doomknight, sem sucesso: Como você pode ver, estou verificando as permissões no tempo de execução antes de tentar escrever no SD:

HashSet<String> extDirs = getStorageDirectories();
for(String dir: extDirs) {
    Log.e("SD",dir);
    File f = new File(new File(dir),"TEST.TXT");
    try {
        if(ActivityCompat.checkSelfPermission(this,Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE)==PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
            f.createNewFile();
        }
    } catch (IOException e) {
        e.printStackTrace();
    }
}

Mas recebo um erro de acesso, tentei em dois dispositivos diferentes: HTC10 e Shield K1.

10-22 14:52:57.329 30280-30280/? E/SD: /mnt/media_rw/F38E-14F8
10-22 14:52:57.329 30280-30280/? W/System.err: java.io.IOException: open failed: EACCES (Permission denied)
10-22 14:52:57.329 30280-30280/? W/System.err:     at java.io.File.createNewFile(File.java:939)
10-22 14:52:57.329 30280-30280/? W/System.err:     at com.myapp.activities.TestActivity.onResume(TestActivity.java:167)
10-22 14:52:57.329 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.Instrumentation.callActivityOnResume(Instrumentation.java:1326)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.Activity.performResume(Activity.java:6338)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.performResumeActivity(ActivityThread.java:3336)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.handleResumeActivity(ActivityThread.java:3384)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.handleLaunchActivity(ActivityThread.java:2574)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.access$900(ActivityThread.java:150)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread$H.handleMessage(ActivityThread.java:1399)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.os.Handler.dispatchMessage(Handler.java:102)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.os.Looper.loop(Looper.java:168)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.main(ActivityThread.java:5885)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at java.lang.reflect.Method.invoke(Native Method)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at com.android.internal.os.ZygoteInit$MethodAndArgsCaller.run(ZygoteInit.java:819)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at com.android.internal.os.ZygoteInit.main(ZygoteInit.java:709)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err: Caused by: android.system.ErrnoException: open failed: EACCES (Permission denied)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at libcore.io.Posix.open(Native Method)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at libcore.io.BlockGuardOs.open(BlockGuardOs.java:186)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at java.io.File.createNewFile(File.java:932)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:  ... 14 more