Estou tentando gerar uma galáxia espiral na forma de coordenadas xy (2D) - mas a matemática não é meu ponto forte.

Eu peguei o seguinte de umexcelente fonte em espirais:

O raio r (t) e o ângulo t são proporcionais para a espiral mais simples, a espiral de Arquimedes. Portanto, a equação é:

(3) Equação polar: r (t) = at [a é constante].
Daqui segue
(2) Forma de parâmetro: x (t) = em cos (t), y (t) = em sin (t),
(1) Equação central: x² + y² = a² [arc tan (y / x)] ².

Essa questão meio que tocou na geração de galáxias, mas as respostas foram dispersas e ainda muito complexas para o que eu preciso (também, minha mente burra de matemática não consegue entendê-las).

Essencialmente, o que eu preciso fazer é percorrer uma fórmula espiral em PHP ~ 5000 vezes para gerar pontos em uma grade XY de 513x513. O tamanho da grade e o número de pontos necessários podem mudar no futuro. Melhor ainda seria pesar esses pontos em direção à origem das espirais, tanto em freqüência quanto em quão longe eles podem se desviar da fórmula matemática exata, da mesma forma como uma galáxia realmente parece.

Este artigo matemático fala sobreuma fórmula que descreve a estrutura das galáxias espirais.

O que me perde completamente é como traduzir uma fórmula matemática para algo que eu possa percorrer em PHP!