En mi aplicación, necesito almacenar muchas imágenes en el almacenamiento del dispositivo. Dichos archivos tienden a cumplir con el almacenamiento del dispositivo, y quiero permitir que los usuarios puedan elegir una tarjeta SD externa como carpeta de destino.

Leí en todas partes que Android no permite a los usuarios escribir en una tarjeta SD externa, por tarjeta SD me refiero a la tarjeta SD externa y montable yno el almacenamiento externo, pero las aplicaciones de administrador de archivos logran escribir en SD externo en todas las versiones de Android.

¿Cuál es la mejor manera de otorgar acceso de lectura / escritura a la tarjeta SD externa en diferentes niveles de API (Pre-KitKat, KitKat, Lollipop +)?

Actualización 1

Intenté el Método 1 de la respuesta de Doomknight, sin resultado: Como puede ver, estoy buscando permisos en tiempo de ejecución antes de intentar escribir en SD:

HashSet<String> extDirs = getStorageDirectories();
for(String dir: extDirs) {
    Log.e("SD",dir);
    File f = new File(new File(dir),"TEST.TXT");
    try {
        if(ActivityCompat.checkSelfPermission(this,Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE)==PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
            f.createNewFile();
        }
    } catch (IOException e) {
        e.printStackTrace();
    }
}

Pero recibo un error de acceso, probé en dos dispositivos diferentes: HTC10 y Shield K1.

10-22 14:52:57.329 30280-30280/? E/SD: /mnt/media_rw/F38E-14F8
10-22 14:52:57.329 30280-30280/? W/System.err: java.io.IOException: open failed: EACCES (Permission denied)
10-22 14:52:57.329 30280-30280/? W/System.err:     at java.io.File.createNewFile(File.java:939)
10-22 14:52:57.329 30280-30280/? W/System.err:     at com.myapp.activities.TestActivity.onResume(TestActivity.java:167)
10-22 14:52:57.329 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.Instrumentation.callActivityOnResume(Instrumentation.java:1326)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.Activity.performResume(Activity.java:6338)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.performResumeActivity(ActivityThread.java:3336)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.handleResumeActivity(ActivityThread.java:3384)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.handleLaunchActivity(ActivityThread.java:2574)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.access$900(ActivityThread.java:150)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread$H.handleMessage(ActivityThread.java:1399)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.os.Handler.dispatchMessage(Handler.java:102)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.os.Looper.loop(Looper.java:168)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at android.app.ActivityThread.main(ActivityThread.java:5885)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at java.lang.reflect.Method.invoke(Native Method)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at com.android.internal.os.ZygoteInit$MethodAndArgsCaller.run(ZygoteInit.java:819)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at com.android.internal.os.ZygoteInit.main(ZygoteInit.java:709)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err: Caused by: android.system.ErrnoException: open failed: EACCES (Permission denied)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at libcore.io.Posix.open(Native Method)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at libcore.io.BlockGuardOs.open(BlockGuardOs.java:186)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:     at java.io.File.createNewFile(File.java:932)
10-22 14:52:57.330 30280-30280/? W/System.err:  ... 14 more