Error de respuesta de Jquery jsonp: no se llamó a la devolución de llamada

Estoy tratando de obtener información de un dominio diferente, el dominio solo permite llamadas jsonp; otros son rechazados. ¿Cómo puedo obtener el contenido en lugar de la ejecución? Porque me sale un error en respuesta. No necesito ejecutarlo, solo lo necesito en mi script. En cualquier formato (la respuesta es json, pero js no lo entiende). No puedo afectar a ese dominio por lo que es imposible cambiar algo en ese lado. Aquí está mi código:

$.ajax({
    url: url + '?callback=?',
    crossDomain: true,
    type: "POST",
    data: {key: key},
    contentType: "application/json; charset=utf-8;",
    async: false,
    dataType: 'jsonp',
    jsonp: 'callback',
    jsonpCallback: 'jsonpCallback',
    error: function(xhr, status, error) {
        console.log(status + '; ' + error);
    }
});

window.jsonpCallback = function(response) {
    console.log('callback success');
};