Absoluter Fehler der ODE45- und Runge-Kutta-Methoden im Vergleich zur analytischen Lösung
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei folgendem Problem weiterhelfen kann. Ich habe folgende ODE:
dr/dt = 4*exp(0.8*t) - 0.5*r ,r(0)=2, t[0,1] (1)
Ich habe (1) auf zwei verschiedene Arten gelöst. Mit demRunge-Kutta-Methode (4. Ordnung) und mittelsode45
in Matlab. Ich habe die beiden Ergebnisse mit der analytischen Lösung verglichen, die gegeben ist durch:
r(t) = 4/1.3 (exp(0.8*t) - exp(-0.5*t)) + 2*exp(-0.5*t)
Wenn ich den absoluten Fehler jeder Methode in Bezug auf die genaue Lösung zeichne, erhalte ich Folgendes:
Für die RK-Methode lautet mein Code:
h=1/50;
x = 0:h:1;
y = zeros(1,length(x));
y(1) = 2;
F_xy = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;
for i=1:(length(x)-1)
k_1 = F_xy(x(i),y(i));
k_2 = F_xy(x(i)+0.5*h,y(i)+0.5*h*k_1);
k_3 = F_xy((x(i)+0.5*h),(y(i)+0.5*h*k_2));
k_4 = F_xy((x(i)+h),(y(i)+k_3*h));
y(i+1) = y(i) + (1/6)*(k_1+2*k_2+2*k_3+k_4)*h; % main equation
end
Und fürode45
:
tspan = 0:1/50:1;
x0 = 2;
f = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;
[tid, y_ode45] = ode45(f,tspan,x0);
Meine Frage ist, warum ich Schwingungen habe, wenn ich benutzeode45
? (Ich beziehe mich auf den absoluten Fehler). Beide Lösungen sind genau (1e-9
), aber was passiert mitode45
in diesem Fall?
Warum sieht es besser aus, wenn ich den absoluten Fehler für die RK-Methode berechne?