Система решения Ax = b линейным методом наименьших квадратов со сложными элементами и матрицей A нижнего треугольника
Я хотел бы решить линейную системуAx = b
линейным методом наименьших квадратов, получая тем самымx
, Матрицы,A
x
а такжеb
содержат элементы, которые являются комплексными числами.
матрицаA
имеет размерыn
отn
, а такжеA
квадратная матрица, которая также является нижней треугольной векторыb
а такжеx
иметь длинуn
, В этой системе столько же неизвестных, сколько и уравнений, но так какb
вектор, заполненный фактическим измерениемданные"Я подозреваю, что было бы лучше сделать это линейным методом наименьших квадратов.
Я ищу алгоритм, который будет эффективно решать эту систему в стиле LLS, используя, возможно, разреженную матрицу структуры данных для низко-треугольной матрицы.A
Возможно, уже есть библиотека C / C ++ с таким алгоритмом? (Я подозреваю, что лучше использовать библиотеку из-за оптимизированного кода.) Оглядываясь в библиотеке собственных матриц, можно обнаружить, что декомпозиция SVD может использоваться для решения системы уравнений в режиме LLS (ссылка на документацию Eigen). Однако как мне работать с комплексными числами в Eigen?
Похоже, что библиотека Eigen работает с SVD, а затем использует это для решения LLS.
Вот фрагмент кода, демонстрирующий то, что я хотел бы сделать:
#include
#include
#include
using namespace Eigen;
int main()
{
// I would like to assign complex numbers
// to A and b
/*
MatrixXcd A(4, 4);
A(0,0) = std::complex(3,5); // Compiler error occurs here
A(1,0) = std::complex(4,4);
A(1,1) = std::complex(5,3);
A(2,0) = std::complex(2,2);
A(2,1) = std::complex(3,3);
A(2,2) = std::complex(4,4);
A(3,0) = std::complex(5,3);
A(3,1) = std::complex(2,4);
A(3,2) = std::complex(4,3);
A(3,3) = std::complex(2,4);
*/
// The following code is taken from:
// http://eigen.tuxfamily.org/dox/TutorialLinearAlgebra.html#TutorialLinAlgLeastsquares
// This is what I want to do, but with complex numbers
// and with A as lower triangular
MatrixXf A = MatrixXf::Random(3, 3);
std::cout < "Here is the matrix A:\n" < A < std::endl;
VectorXf b = VectorXf::Random(3);
std::cout < "Here is the right hand side b:\n" < b < std::endl;
std::cout < "The least-squares solution is:\n"
< A.jacobiSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b) < std::endl;
}// end